ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ДВУХ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 

Андреева Юлия Юрьевна, старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Волгоградский государственный технический университет (Россия, г. Волгоград, проспект Ленина, 28), ajj308@mail.ru
Жуков Борис Александрович, доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики, Волгоградский государственный технический университет (Россия, г. Волгоград, проспект Ленина, 28);
профессор, кафедра алгебры, геометрии и математического анализа, Волгоградский государственный социально-педагогический университет (Россия, г. Волгоград, проспект Ленина, 27), zhukov.b.a@gmail.com

539.3

DOI

10.21685/2072-3040-2018-2-7

Актуальность и цели. В нелинейной теории упругости в настоящее время отсутствует единое уравнение состояния, подобное закону Гука в линейной теории. Разработка новых эластомерных материалов, исследование различных
биологических материалов приводит к необходимости создания новых моделей отклика на внешние воздействия. В рамках гиперупругости это приводит к появлению новых математических выражений для потенциала энергии деформации. В коммерческих пакетах, предназначенных для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из эластомеров, выражения для потенциала энергии деформации жестко заданы. Для учета новых моделей приходится создавать новые пакеты прикладных расчетов. Их верификация проводится на известных точных решениях. Целью работы является нахождение некоторых точных решений одной модельной задачи с разными потенциалами.
Материалы и методы. В качестве задачи, для которой отыскиваются точные решения, рассматривается задача о конечном продольном сдвиге круговой цилиндрической втулки между жесткими концентрическими обоймами. С од-
ной стороны, это одна из простейших задач, с другой стороны, она имеет прикладное значение, поскольку это одна из конструкций амортизатора сдвига. Рассматриваемая задача решалась многими авторами для различных потенциалов.
Результаты. В данной работе получены точные решения для двух потенциалов, для которых нам не удалось найти решения в литературе. Решения получены полуобратным методом.
Выводы. Практическая значимость точных решений не исчерпывается их применением для верификации численных методов, они позволяют исследовать эффекты, не описываемые линейной теорией. Показано, что различие потенциалов приводит не только к количественному, но и к качественному различию решений.

Ключевые слова

конечная антиплоская деформация, гиперупругий несжимаемый материал, потенциалы энергии деформации, точные решения

 Скачать статью в формате PDF

1. Hossa, L. A new constitutive model for rubber-like materials / L. Hossa, R. J. Marczakb // Computational Mechanics. – 2010. – Vol. 29. – P. 2759–2773.
2. Черных, К. Ф. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов, феноменологический подход / К. Ф. Черных, И. М. Шубина // Механика эластомеров. – 1977. – Т. 1, Вып. 242. – С. 54–64.
3. Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки / С. Н. Коробейников, А. А. Олейников, А. Ю. Ларичкин, А. В. Бабичев, В. В. Алёхин // Дальневосточный
математический журнал. – 2013. – Т. 13, № 2. – C. 222–249.
4. Knowles, J. K. On finite anti-plane shear for incompressible elastic materials / J. K. Knowles // J. Austral. Math. Soc. – 1976. – Vol. 19.– P. 400–639.
5. Жу ков, Б. А. Нелинейное взаимодействие конечного продольного сдвига и конечного кручения втулки из резиноподобного материала / Б. А. Жуков // Известия РАН МТТ. – 2015. – № 3. – С. 127–135.
6. Horgan, С. Superposition of generalized plane strain on anti-plane shear deformations in isotropic incompressible hyperelastic materials / С. Horgan, G. Saccomandi // Journal of Elasticity. – 2003. – Vol. 73. – P. 221–235.
7. Лу рье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1980. – 512 с.